Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên – Toán 9 chuyên đề

Bạn đang xem: Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên – Toán 9 chuyên đề tại thcsdongphucm.edu.vn

Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nguyên là một trong những dạng toán lớp 9 xuất hiện trong đề thi tuyển sinh lớp 10. Đây là dạng toán đòi hỏi sự biến đổi linh hoạt và vận dụng cao kiến thức vững vàng. Màu vàng. về ước và bội của số nguyên ở các lớp trước.

Trong bài viết này, hãy cùng trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong tìm hiểu cách giải bài toán tìm giá trị của x cho biểu thức nguyên, vận dụng vào giải một số bài tập minh họa để nắm vững cách giải.

A. Phương pháp tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

Để tìm giá trị của x cho một biểu thức nguyên ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chuyển biểu thức về dạng: trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x là một số nguyên và k có giá trị nguyên.

+ Bước 2: Để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì $\small \frac{k}{g(x)}$ phải có giá trị nguyên $\dpi{100} \small k\vdots g(x)$ tức là g(x) thuộc tập hợp các ước của k.

+ Bước 3: Lập bảng tính các giá trị của x

+ Bước 4: Kết hợp với điều kiện của bài toán, loại bỏ các giá trị không phù hợp rồi kết luận bài toán

B. Ví dụ tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

* Ví dụ 1: Tìm giá trị của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên: $\dpi{100} \small A=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}$

* Trả lời:

– Điều kiện A được xác định là căn bậc hai, tức là: x ≥ 0.

Chúng ta có: $\small A=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+2+2}{\sqrt{x}+2}$ $\small =1+\frac{2}{\sqrt{x}+2}$

Để A nhận giá trị nguyên thì $\small \frac{2}{\sqrt{x}+2}$ thô (tức là $\small \frac{2}{\sqrt{x}+2}\in \mathbb{Z}$ )

$\small \Leftrightarrow ({\sqrt{x}+2})\in U(2)= \left \{ +2;-2 \right \}$

– TH1: $\small \sqrt{x}+2=-2\Rightarrow \sqrt{x}=-4$ (kiểu)

– TH2: $\small \sqrt{x}+2=2\Rightarrow \sqrt{x}=0\Rightarrow x=0$ (thỏa mãn)

Vậy với x = 0 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên.

* Ví dụ 2: Tìm giá trị của x để biểu thức sau có giá trị nguyên:

$\small P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}$

* Trả lời:

Các em chú ý đến điều kiện để P xác định là căn bậc hai không âm và mẫu số khác không.

Điều kiện xác định: $\small \left\{\begin{matrix} x\geq 0\ \sqrt{x}-3\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\ x\neq 9 \end{matrix}\right.$

Chúng ta có: $\small P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+5}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{5}{\sqrt{x}-3}$

Biểu thức P nhận giá trị nguyên khi $\small \frac{5}{\sqrt{x}-3}$ có giá trị nguyên:

$\small \Rightarrow \sqrt{x}-3\in U(5)=\left \{ -1;1;-5;5 \right \}$

Chúng ta biết rằng khi x là một số nguyên, hoặc $\small \sqrt{x}$ là một số nguyên (nếu x là một số chính phương) hoặc $\small \sqrt{x}$ là vô tỷ (nếu x không phải là số chính phương)

ĐẾN $\small \frac{5}{\sqrt{x}-3}$ là một số nguyên thì $\small \sqrt{x}$ phải là số nguyên (không thể là số vô tỷ)

⇒ $\small \small \sqrt{x}-3$ là ước số tự nhiên của 5

Ta có các trường hợp sau:

– TH1: $\small \sqrt{x}-3=1\Rightarrow \sqrt{x}=4\Rightarrow x=16$ (thỏa mãn)

– TH2: $\small \sqrt{x}-3=-1\Rightarrow \sqrt{x}=2\Rightarrow x=4$ (thỏa mãn)

– TH3: $\small \sqrt{x}-3=5\Rightarrow \sqrt{x}=8\Rightarrow x=64$ (thỏa mãn)

– TH4: $\small \sqrt{x}-3=-5\Rightarrow \sqrt{x}=-2$ (kiểu)

Vậy để biểu thức P có giá trị nguyên thì x ∈ {4; 16; 64}

* Ví dụ 3: Tìm giá trị của x để biểu thức sau có giá trị nguyên:

$\small B=\frac{x^2+x-2}{x+1}$

* Trả lời:

– Điều kiện xác định (mẫu số khác 0): x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1.

Chúng ta có: $\small B=\frac{x^2+x-2}{x+1}$ $\small =\frac{x(x+1)-2}{x+1}=x-\frac{2}{x+1}$

Vậy để B nhận giá trị nguyên thì $\small x-\frac{2}{x+1}\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{2}{x+1}\in \mathbb{Z}$

⇔ x + 1 ∈ U(2) = {-1; Trước hết; -2;2}

– TH1: x + 1 = -1 x = -2

– TH1: x + 1 = 1 x = 0

– TH1: x + 1 = -2 x = -3

– TH1: x + 1 = 2 x = 1

Vậy B nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-3; -2; 0; Trước hết}.

* Ví dụ 4: Tìm giá trị nguyên của x để P = (x+3)/(x – 2) nhận giá trị nguyên

* Trả lời:

– Chúng ta có: $\small P=\frac{x+3}{x-2}=\frac{(x-2)+5}{x-2}=1+\frac{5}{x-2}$

Để P nhận giá trị nguyên thì $\small \frac{5}{x-2}$ lấy giá trị số nguyên

Vậy (x – 2) ∈ U(5) = {-1; Trước hết; -5; 5}

– TH1: x – 2 = -1 x = 1

– TH2: x – 2 = 1 x = 3

– TH3: x – 2 = -5 x = -3

– TH4: x – 2 = 5 x = 7

Vậy P = (x+3)/(x – 2) nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-3; Trước hết; 3 ; 7}

* Ví dụ 5: Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên:

$\small A=\frac{x^2-x+2}{x-3}$

* Trả lời:

– Chúng ta có: $\small A=\frac{x^2-x+2}{x-3}$

$\small =\frac{x(x-3)}{x-3}+\frac{2(x-3)}{x-3}+\frac{8}{x-3}$ $\small =x+2+\frac{8}{x-3}$

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì $\small \frac{8}{x-3}$ lấy giá trị số nguyên

Vậy (x – 3) là ước của 8: (x – 3) ∈ U(8) = {-1; Trước hết; -2; 2; -4; 4; -số 8; số 8}

– TH1: x – 3 = -1 x = 2

– TH2: x – 3 = 1 x = 4

– TH3: x – 3 = -2 x = 1

– TH4: x – 3 = 2 x = 5

– TH5: x – 3 = -4 x = -1

– TH6: x – 3 = 4 x = 7

– TH7: x – 3 = -8 x = -5

– TH8: x – 3 = 8 x = 11

Vậy A nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-5; -Trước hết; Trước hết; 2; 4; 5; 7; 11}

* Ví dụ 6: Tìm giá trị của x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên

$\small Q=\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}$

* Trả lời:

– Điều kiện x ≥ 0.

– Trường hợp x = 0 thay Q vào ta được: Q = 0

– Trường hợp x > 0 thì chia cả tử và mẫu cho $\small \sqrt{x}$

Chúng tôi nhận được: $\small \frac{2}{\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsin với:

$\small \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\geq 2.\sqrt[4]{x}.\frac{1}{\sqrt[4]{x}}=2$

$\small \Rightarrow \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1\geq 2-1$

$\Rightarrow \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1\geq 1>0$

$\small \Rightarrow 0<\frac{1}{\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}}\leq \frac{1}{1}$ (đổi cả hai vế, bất đẳng thức đổi chiều)

$\small \Rightarrow0< \frac{2}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1}\leq 2$ hoặc 0 < Q ≤ 2.

Vậy Q là số nguyên ⇔ Q = 1 hoặc Q = 2.

– Với Q = 1, ta có: $\small \frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=1$

$\small \Leftrightarrow x-\sqrt{x}+1=2\sqrt{x}$

$\small \Leftrightarrow x-3\sqrt{x}+1=0$

$\small \sqrt{x}=t\geq 0$ Đặt

phương trình

trở nên $\small t=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$

$\small \Rightarrow x=\frac{7\pm 3\sqrt{5}}{2}\: (t.m)$

t2 – 3t + 1 = 0 $\small \frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=2$

$\small \Leftrightarrow 2x-2\sqrt{x}+2=2\sqrt{x}$

$\small \Leftrightarrow 2x-4\sqrt{x}+2=0$

$\small \Leftrightarrow 2(\sqrt{x}-1)^2=0$

$\small \Leftrightarrow \sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\: (t.m)$

Giải phương trình bậc hai này ta được: $\small x\in \left \{ 0;1;\frac{7-3\sqrt{5}}{2} ;\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\right \}$

– Với Q = 2, ta có:

Vậy Q nhận giá trị nguyên khi

C. Bài tập tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị nguyên

$\small a)\: A=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$

$\small b)\: B=\frac{\sqrt{x}+3}{2-\sqrt{x}}$

* Bài tập 1: Tìm giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên

$\small a)\: P=\frac{x^2+3x+3}{2x-1}$

$\small b)\: Q=\frac{x^2-4x-17}{x+2}$

* Bài tập 2:

Tìm giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên

Hi vọng bài viết Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên trên đây giúp các bạn giải các bài tập này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận bên dưới bài viết để các thầy cô trường THPT Chuyên Sóc Trăng ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập đạt kết quả tốt nhất.

Người đăng: Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong Giáo Dục Bản quyền bài viết này thuộc về Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong. Mọi sao chép đều là gian lận! Nguồn chia sẻ: https://c3lehongphonghp.edu.vn https://c3lehongphonghp.edu.vn/tim-gia-tri-cua-x-de-bieu-thuc-nguyen/ Tags Toán lớp 9

Bạn thấy bài viết Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên – Toán 9 chuyên đề có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên – Toán 9 chuyên đề bên dưới để Trường THCS Đồng Phú có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: thcsdongphucm.edu.vn của Trường THCS Đồng Phú

Nhớ để nguồn bài viết này: Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên – Toán 9 chuyên đề của website thcsdongphucm.edu.vn

Mục lục